El uso de las variables es muy antiguo, cuando el álgebra era una disciplina incipiente en las matemáticas. Su invención se atribuye a Diofanto de Alejandría en su obra Arithmetica (c.250 d.C).
Al-Juarismi (780-850 d.C.), matemático, astrónomo y geógrafo persa, fue uno de los mayores estudiosos de álgebra y uno de los grandes matemáticos de la historia. Es el padre del sistema de ecuaciones lineales y cuadráticas, presentada en su obra Compendio de cálculo por integración y comparación (c.830).
El uso del términos como algoritmo, guarismo y algoritmia provienen de su nombre en latín. Es considerado el padre del álgebra y el precursor del uso de los números arábigos en Occidente tal como los conocemos actualmente.
Así que el estudio del álgebra será muy interesante en este desafío introducido por @khursheedanwar.
TIPOS DE VARIABLES.
El uso de las variables en diferentes disciplinas y contextos permite clasificarlas dependiendo de tres criterios:
Tipos de variables según la variación de su valor.
En el mundo de la lógica matemática y la informática, las variables dependen de que tan fijo es su valor:
Ejemplo práctico.
x es material
En esta expresión x puede ser sustituido por cualquier nombre de material: pantalón de tu hijo, el pizarrón de mi clase, la estatua de la Libertad, etc. Al no tener limitaciones x es una variable libre que forma una matriz referencial.
Ejemplo algebraico.
u+v
En esta expresión tanto u como v son variables libres que pueden tener cualquier valor sin responder a ningún rango, dominio o universo.
Son aquellas variables cuyo valor está vinculado, limitado o restringido a un rango o conjunto de valores específicos o dominio.
Ejemplo práctico.
Para todo x, (x es material)
En la expresión la variable “x es material” está vinculado o restringido al cuantificador “Para todo x”.
Si el valor de “x” es cemento, entonces “cemento es material”, por tanto el cuantificador “Para todo cemento” nos indica que el valor de la variable se restringe al grupo cemento. Es decir, la variable está ligada a un grupo específico, cualquier valor fuera de él no aplica.
Ejemplo algebraico.
Para todo w>0, (w+2)
La expresión “Para todo w>0” es un cuantificador que vincula o restringe los valores de la variable “w” al universo de números reales mayores a cero, lo que hace que la variable sea ligada.
Omitiré los tipos de variables según su dependencia ya que están explicadas claramente en el curso.
Tipos de variables según su expresión.
Son variables que se definen según el modo de expresión de su valor. Se distinguen dos tipos de variables:
Son aquellas variables cuyos valores pueden expresarse a través de números. Se clasifican en discretas y continuas.
Discretas. Son aquellas variables que no puede tomar ningún valor entre dos consecutivos. Se utilizan para contar elementos enteros como número de hijos, números de habitantes de un lugar, cantidad de jugadores de un equipo, etc.
Ejemplo práctico.
Si queremos cuantificar cuántos hijos hay en una familia, sabemos que este varía en cada caso ( 0, 1, 2, 5, etc). El número de hijos es una variable discreta, es un valor entero positivo pues no es posible medio hijo o fracción y menos negativo.
Ejemplo algebraico.
Si z es el número de alumnos becados, debe tener un valor entero, entonces es una variable discreta. Si cada beca tiene un costo de $1000 entonces el costo total de becas podemos expresarlo algebraicamente como sigue:
$1000z
Continuas. Son aquellas variables que pueden tomar cualquier valor real dentro de un infinito campo o rango determinado. Se utilizan para medir cualquier parámetro físico o ambiental como ejemplos: la temperatura dentro del rango (-50;1000)°C, humedad, velocidad, distancias recorridas, etc.
Ejemplo práctico.
Si queremos saber cuánta distancia recorre un maratonista, debemos medir la distancia recorrida en kilómetros. La distancia recorrida en km es una variable continua, ya que puede tener cualquier valor incluyendo fracciones de la distancia recorrida como 15,110 km, 25,012 km, 50,000 km, 49,990 km, etc.
Ejemplo algebraico.
Si v es la cantidad de galones de combustible consumido por un auto en un día, su valor puede tener fracciones de galones, entonces dicho consumo es una variable continua. El costo de cada galón de combustible es de $4,25, entonces podemos determinar el costo de consumo diario de combustible de un auto y expresarlo algebraicamente como sigue:
4,250v
Son aquellas cuyos valores no pueden expresarse numéricamente pues se refieren a las características o cualidades de un referente. Por ejemplo: sexo, raza, religión, tipo de población, etc.
Ejemplo práctico.
Si queremos realizar un registro de amigos, se genera una matriz con las siguientes variables cualitativas:
Grupo de amigos
Nombre y apellido País Sexo Carlos Salazar Venezuela Masculino Violeta Mendoza Venezuela Femenino Gabriela Nenuco Venezuela Femenino Ejemplo algebraico.
El registro R es una especie de matriz compuesta de elementos dentro de un paréntesis ubicando tantas filas y columnas como datos de cada registro como sigue:
R=( r11, r12, r13…
r21, r22, r23…
r31, r32, r33… )donde R es la matriz del registro y los elementos del registro son las variables cualitativas. En la primera columna se ubican los valores de la variable (Nombre y apellido), en la segunda columna los valores de la variable (País) y en la tercera columna los valores de la variable (Sexo).
TIPOS DE EXPRESIONES.
Existen diversas formas de expresión que se distinguen de las principales tratadas en el curso como son las expresiones fraccionarias y las desigualdades que describo a continuación:
Expresiones fraccionarias.
Son una forma de representar el cociente entre dos expresiones algebraicas. Éstas incluyen fracciones de variables o constantes. No todas las expresiones fraccionarias son fracciones, ya que las fracciones son relaciones entre una parte y un todo.
Ejemplo práctico.
Cuando queremos repartir (n) tortas, las dividimos entre (p) cantidad de invitados. Así que cada invitado recibirá una fracción igual que puede calcularse con la expresión fraccionaria (n/p).
Ejemplo algebraico.
La expresión fraccionaria 1/(x+1) no tiene signo radical y existe por lo menos una variable en el divisor.
Desigualdades.
Las desigualdades o inecuaciones matemáticas son aquellas proposiciones que relacionan dos expresiones algebraicas cuyos valores difieren. Dichos valores pueden ser comparados si pertenecen a un dominio (enteros o reales).
Ejemplo práctico.
Si queremos expresar que la edad de tu hermano (a) es mayor que la de su primo (b) entonces es válida la expresión a > b en caso contrario sería válido b > a .
Ejemplo algebraico.
La desigualdad o inecuación 3x < 5y, relaciona dos expresiones algebraicas que contienen dos variables x y y además dos constantes 3 y 5. Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.
Tarea 2.
Muestre su forma de evaluar una expresión algebraica si se dan los valores de las variables. (Cuanto más detallado y preciso sea, más perfecta será su tarea).
Para evaluar una expresión algebraica usaré el orden de operaciones PEMDAS, esto nos permitirá evitar errores, confusiones y malas interpretaciones.
El primer paso de la evaluación comenzará con los paréntesis (P), luego con los exponentes (E), continuaremos con las multiplicaciones (M), en cuarto orden evaluaremos las divisiones (D), seguiremos con las adiciones (A) y terminaremos con las sustracciones (S).
Evaluemos la siguiente expresión algebraica:
2x^3 + (y - 5xy + 9), donde x=1 y y=2
Paso 1. Observamos que la expresión tiene diferentes operadores (paréntesis, exponentes, multiplicaciones, adiciones y sustracciones) que nos indicarán el camino a recorrer siguiendo las reglas del PEMDAS.
Procedemos a sustituir los valores dados de las variables en la expresión quedando como sigue:
2 (1)^3 + (2 - 5 (1)(2) + 9)
Paso 2. Evaluamos primeramente lo que se encuentra en el paréntesis y resolver las operaciones contenidas en él. Iniciamos con la simplificación de la multiplicación 5(1)(2) = 10, siguiendo el orden PEMDAS, por lo que la expresión se reduce como sigue:
2 (1)^3 +(2 - 10 + 9)
Luego, seguimos simplificando dentro del paréntesis esta vez la adición 2+9 = 11 quedando reducida la expresión a:
2 (1)^3 +(11 - 10)
Finalmente resolvemos la operación del paréntesis simplificando la sustracción 11-10 = 1 quedando la expresión en el siguiente orden:
2 (1)^3 +1
Paso 3. Una vez resuelto lo del paréntesis, se procede a resolver la expresión exponencial 2(1)^3 = 2 reduciendo la expresión a:
2 +1Paso 4. Finalmente solo queda una operación de adición 2 + 1:
3
Éste es el resultado de la evaluación planteada.
Tarea 3
Simplifica esta expresión: 3(2x - 1) + 2(x + 4) – 5
Paso 1. Simplificamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva como sigue:
6x - 3 + 2x + 8 – 5
Paso 2. Luego agrupamos entre paréntesis términos semejantes simplificando la expresión a:
(6x+2x) + (8 - 3 - 5)
8x + (8 - 3 - 5)Paso 3. Resolvemos las adiciones y luego las sustracciones:
8x + (8-8)
por tanto el resultado es 8x
Evalúa esta expresión: (x^2 + 2x - 3) / (x + 1) cuando x = 2
Paso 1. Observamos la presencia de paréntesis con exponentes, adiciones y sustracciones dentro de éstos así como la presencia de la división combinada con adiciones en el denominador. Por tanto, seguiré las reglas del PEMDAS
Procedemos sustituyendo el valor de la variable en la expresión como sigue:
(2^2 + 2(2) - 3)/(2 + 1)
Paso 2. Se simplifican las operaciones iniciando con las contenidas en los paréntesis tanto del numerador como del denominador. Allí encontramos el exponente 2^2 = 4 y seguidamente la multiplicación 2(2) = 4, obteniendo la siguiente secuencia:
(4 + 2(2) - 3)/(2 + 1)
(4 + 4 - 3)/(2 + 1)
Luego se procede a resolver las adiciones contenidas en ambos paréntesis:
(8 - 3)/3
Paso 3. Se procede finalmente a resolver la sustracción en el numerador quedando simplificada la expresión en una fracción igual a:
5/3 o si se ejecuta la división sería 1,66666…
Resuelve la siguiente ecuación: 2x + 5 = 3(x - 2) + 1
Paso 1. Para comenzar procedemos a resolver las operaciones en los paréntesis aplicando la propiedad distributiva como sigue:
2x + 5 = 3x – 6 + 1
Paso 2. Luego agrupamos términos semejantes para aislar a la variable de las constantes en el lado izquierdo de la ecuación:
2x - 3x = - 6 + 1 - 5
Paso 3. Sumamos los términos semejantes de cada lado y luego las sustracciones, obteniendo las siguiente secuencia:
- x = - 6 + 1 - 5
- x = - 5 - 5
- x = - 10
Paso 4. Luego se divide -10/-1 para obtener el resultado final:
10
Tarea 4.
Supongamos que hay una panadería que vende un total de 250 barras de pan al día. Se venden barras de pan integral y de pan blanco, siendo el número de barras de pan integral vendidas 30 más que el número de barras de pan blanco. Si x representa el número de barras de pan blanco vendidas y la panadería obtiene un beneficio de 0,50 $ por cada barra de pan blanco y 0,75 $ por cada barra de pan integral, escriba una expresión que represente el beneficio diario total de la panadería.
El beneficio diario de la panadería depende de la cantidad de panes vendidos en el día y sus precios de venta. Se venden 250 panes diarios de los cuales la cantidad de pan integral vendidos son 30 más que los panes blancos. El costo del pan blanco es 0.50$ y el integral 0.75$, por tanto planteamos lo siguiente:
x = # de pan blanco vendido
y = # de pan integral vendido
(ec. #1): x+y = 250
(ec. #2): y = 30+x
(ec. #3): z = $0,50x + $0,75y (representa el beneficio diario de la panadería)Este es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas (x, y, z)
Si deseamos saber el valor del beneficio debemos encontrar el valor de x sustituyendo la ec. #2 en la #1 como sigue:
x + y = 250
x+(30+x) = 250
2x + 30 = 250
2x = 250 - 30
x = 220/2
x = 110 son la cantidad de pan blanco vendido a diario.
Sustituimos el valor de x en la ec. #2 y obtenemos el valor de y.
y = 30 + x
y = 30 + 110
y = 140
Por tanto, sustituimos x y y en la ec #3 para obtener el valor de los beneficios como sigue:
z = $0,50x + $0,75y
z = $0,50(110) + $0,75(140)y
z = $55 + $105
z = $160, resulta ser el valor del beneficio diario total de la panadería.
Si buscamos la expresión que represente el beneficio diario tenemos que sustituir la ec. #2 en ec. #3 y simplificamos:
z = $0,50x + $0,75(30+x)
Aplicamos la propiedad distributiva en el paréntesis y luego agrupamos términos semejantes:
z = $0,50x + $22,50 + $0,75x
z = $1,25x + $22,50
Esta es la expresión que representa el beneficio diario de la panadería más simplificado.
Podemos comprobar esta expresión evaluando con el valor de x = 110 calculado previamente obteniendo las ganancias totales:
z = $1,25(110) + $22,50Lo que valida la expresión simplificada determinada previamente.
z = $137,50 + $22,50
z = $160
Supongamos que el coste de alquilar un coche durante un día se representa mediante la expresión 2x + 15 y aquí x es el número de horas en las que se alquila el coche. Si la empresa de alquiler ofrece un paquete de 3x - 2 dólares a los clientes que alquilen el coche durante más de 4 horas, escriba una expresión para el coste total de alquilar el coche durante x horas y muestre cómo se simplifica.
Para obtener una expresión que represente el costo de alquiler por x horas de un auto consideramos su costo base con la expresión:
(2x + 15)
Además si es auto es alquilado por más de 4 horas también consideramos la expresión (3x - 2), por tanto el costo total por x horas viene dado por la siguiente expresión:
Costo total = (2x+15) + (3x-2)
Podemos simplificar la expresión agrupando los términos semejantes.
Costo total = (2x+3x) + (15 - 2)
Luego procedemos con la adición y la sustracción dentro de los paréntesis para llegar a la expresión final simplificada:
Costo total = 5x +13
Notas:
📌 Imágenes presentadas con la aplicación canva.com
📌 Invito a participar a mis amigos @ridwant @patjewell @paholags @marito74 @genomil @cruzamilcar63 @dove11 @goodybest
📌 Más información del concurso en el siguiente enlace.
📌 Mi twitter: steemit_casv
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